Question

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu MP = \(\frac{1}{2}\)(BC + AD) và NQ = \(\frac{1}{2}\)(AB + CD) thì tứ giác ABCD là hình bình hành

Answer 1

lời giải vắn tắt:

gọi O là trung điểm AC.suy ra:

OM là đường trung bình của tam giác ABC=> OM//BC và OM=\(\frac{1}{2}BC\)

OP là đường trung bình của tam giác ACD => OP//AD và OP=\(\frac{1}{2}AD\)

=> OM+OP=\(\frac{1}{2}\left(BC+AD\right)\)mà MP=\(\frac{1}{2}\left(AD+BC\right)\)

=> MP=OM+ON.điều này trái với BĐT tam giác trong\(\Delta OMP\)

do vậy O,M,P thẳng hàng => AD//BC

tương tự ta có: AB//CD vậy ABCD là HBH