Bài 2.1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mai Linh

Cho trước mặt phẳng \(\left(P\right):x+y-x+1=0\) và 2 điểm \(A\left(-2;1;3\right):B\left(3;-5;6\right)\)

a. Tìm tọa độ điểm C trên mặt (P) sao cho CA + CB nhỏ nhất

b. Tìm điểm D trên mặt phẳng (P) sao cho \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\) có độ dài ngắn nhất.

Phạm Thái Dương
17 tháng 5 2016 lúc 21:41

a. Do \(\left(-2\right)+1-3+1=-3< 0\)

    và  \(4+\left(-5\right)-6+1=-6< 0\)

nên A, B  ở về cùng 1 phía của mặt phẳng (P). Do đó điểm \(C\in\left(P\right)\) sao cho \(CA+CB\) nhỏ nhất chính là giao điểm của đoạn AB với mặt phẳng (P), trong đó A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P)

Giả sử \(A'\left(x;y;z\right)\) do A' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}\frac{x-2}{2}+\frac{y+2}{2}-\frac{zx+2}{2}+1=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-1}\end{cases}\)

Giải hệ ta được \(x=0;y=3;z=1\)

Do đó \(A'\left(0;3;1\right)\)

Gọi \(C\left(x;y;z\right)\) là giao điểm của A'B với (P). Khi đó tọa độ của C' thỏa mãn phương tringf của (P) và hai vecto \(\overrightarrow{A'C};\overrightarrow{A'B}\) cùng phương. Do đó, ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-0}{4-0}=\frac{y-3}{-5-3}=\frac{z-1}{6-1}\end{cases}\)

Từ phương trình thứ 2 suy ra \(y=-2x+3\) và \(z=\frac{5}{4}x+1\)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được \(x=\frac{3}{4}\). Từ đó tìm được \(y=\frac{3}{2}\) và \(z=\frac{31}{16}\)

Vậy điềm \(C\) cần tìm là \(C\left(\frac{3}{4};\frac{3}{2};\frac{31}{16}\right)\)

 

b. Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó \(I\left(1;-2;\frac{9}{2}\right)\) và với mọi điểm D đều có \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DI}\)

Vậy \(D\in\left(P\right):\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right|\) bé nhất \(\Leftrightarrow\) D là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ của hình chiếu điểm I trên (P). Khi đó ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y-z+1=0\\\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-\frac{9}{2}}{-1}\end{cases}\)

Giải hệ ta thu được : 

\(x=\frac{5}{2};y=-\frac{1}{2};z=3\)

Vậy điểm \(D\in\left(P\right)\) sao cho \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\) có độ dài nhỏ nhất là \(D\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Hà Uyên
Xem chi tiết
Đỗ Hạnh Quyên
Xem chi tiết
Phạm Đức Trọng
Xem chi tiết
Lê Ngọc Phương Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Quốc Cường
Xem chi tiết
minh ly anh
Xem chi tiết
trầnchâu
Xem chi tiết
Dao Nguyen
Xem chi tiết
Trần Thị Quỳnh Vy
Xem chi tiết