Cách 1:
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{c}{d}.\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{c^2}{d^2}\) (1)
\(\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{a^2}{b^2}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
\(\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\left(đpcm\right).\)
Cách 2:
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)
Có:
\(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k.k=k^2\) (1)
\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
