Question

Cho tam giác đều ABC, M nằm trong tam giác. Đường thẳng qua M song song AC cắt BC tại d, đường thẳng qua M song song BC cắt AB ở E, song song với AB cắt AC tại F.

a) Chứng minh: Tứ giác BEMD, AFME, DMFC là các hình thang cân.

b) Đọ dài các đoạn MA, MB, MC bằng độ dài các cạnh tam giác nào?

Answer 1

a, Ta có: \(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}\)

MD//AC \(\Rightarrow\widehat{BDM}=\widehat{ACB}\) (2 góc đồng vị)

ME//BC \(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{ABC}\) (2 góc đồng vị)

MF//AB \(\Rightarrow\widehat{CFM}=\widehat{BAC}\) (2 góc đồng vị)

Do đó: \(\widehat{BDM}=\widehat{ACB}=\widehat{AEM}=\widehat{ABC}=\widehat{CFM}=\widehat{BAC}\)

hay \(\widehat{BDM}=\widehat{DBE}=\widehat{AEM}=\widehat{EAF}=\widehat{CFM}=\widehat{FCD}\)

Vì MD//AC và \(\widehat{CFM}=\widehat{FCD}\) => DMFC là hình thang cân

ME//BC và \(\widehat{BDM}=\widehat{DBE}\) => BEMD là hình thang cân

MF//AB và \(\widehat{AEM}=\widehat{EAF}\) => AFME là hình thang cân

=> đpcm

b, Ta có: hình thang AFME cân => MA=FE

hình thang BEMD cân => MB=ED

hình thang DMFC cân => MC=DF

=> độ dài các đoạn MA, MB, MC lần lượt bằng độ dài các cạnh FE, ED, DF của \(\Delta DEF\)

Vậy...