Cho tam giác cân ABC AB = AC. Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai điểmD và E sao cho BD = CE
a) Chứng minh DE // BC.
b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC , từ E kẻ EN vuông góc với BC .Chứng minh DM = EN
c) Chứng minh △ AMN là tam giác cân .
d) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I . Chứng minhAI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.
Các bạn vẽ hình giúp mình với . Mình cảm ơn !
a) Ta có: AD=AB+BD(do A,B,D thẳng hàng)
AE=AC+CE(do A,C,E thẳng hàng)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
và BD=CE(gt)
nên AD=AE
Xét ΔADE có AD=AE(cmt)
nên ΔADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{ADE}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔADE cân tại A)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ADE}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên BC//DE(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
b) Ta có: \(\widehat{MBD}=\widehat{ABC}\)(hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{NCE}=\widehat{ACB}\)(hai góc đối đỉnh)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\)
Xét ΔMBD vuông tại M và ΔENC vuông tại N có
BD=CE(gt)
\(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\)(cmt)
Do đó: ΔMBD=ΔENC(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒DM=EN(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ACN}+\widehat{ACB}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét ΔABM và ΔACN có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)
MB=CN(ΔMBD=ΔNCE)
Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)
⇒AM=AN(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)
nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
d) *Chứng minh AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
Gọi O là giao điểm của IB và AM
Gọi P là giao điểm của IC và AN
Ta có: IB⊥AM(gt)
⇒OB⊥AM
Ta có: IC⊥AN(gt)
⇒CP⊥AN
Ta có: ΔAMN cân tại A(cmt)
⇒\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)(hai góc ở đáy)
hay \(\widehat{OMB}=\widehat{PNC}\)
Xét ΔOBM vuông tại O và ΔPCN vuông tại P có
BM=CN(ΔMBD=ΔNCE)
\(\widehat{OMB}=\widehat{PNC}\)(cmt)
Do đó: ΔOBM=ΔPCN(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒\(\widehat{OBM}=\widehat{PCN}\)(hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{OBM}=\widehat{IBC}\)(hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{PCN}=\widehat{ICB}\)(hai góc đối đỉnh)
mà \(\widehat{OBM}=\widehat{PCN}\)(cmt)
nên \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)
nên ΔIBC cân tại I(định lí đảo tam giác cân)
Xét ΔABI và ΔACI có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
IB=IC(ΔIBC cân tại I)
AI là cạnh chung
Do đó: ΔABI=ΔACI(c-c-c)
⇒\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AI nằm giữa hai tia AB,AC
nên AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
*Chứng minh AI là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)
Ta có: \(\widehat{MAI}=\widehat{MAB}+\widehat{BAI}\)(do tia AB nằm giữa hai tia AM,AI)
\(\widehat{NAI}=\widehat{NAC}+\widehat{CAI}\)(do tia AC nằm giữa hai tia AN,AI)
mà \(\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\)(ΔABM=ΔACN)
và \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(cmt)
nên \(\widehat{MAI}=\widehat{NAI}\)
mà tia AI nằm giữa hai tia AM,AN
nên AI là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)(đpcm)
.
