Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}=90^0-60^0\)
hay \(\widehat{ACB}=30^0\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{ACB}=30^0\)(cmt)
Cạnh đối diện của \(\widehat{ACB}\) là cạnh AB
Do đó: \(AB=\dfrac{1}{2}\cdot BC\)(Định lí)
\(\Leftrightarrow BC=2\cdot AB=2\cdot6=12\left(cm\right)\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=12^2-6^2=108\)
\(\Leftrightarrow AC=6\sqrt{3}cm\)
Xét ΔABC có CD là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)
nên \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AD}{6\sqrt{3}}=\dfrac{BD}{12}\)
mà AD+BD=AB(D nằm giữa A và B)
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{AD}{6\sqrt{3}}=\dfrac{BD}{12}=\dfrac{AD+BD}{6\sqrt{3}+12}=\dfrac{AB}{6\sqrt{3}+12}=\dfrac{6}{6\left(2+\sqrt{3}\right)}=2-\sqrt{3}\)
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AD}{6\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\\\dfrac{BD}{12}=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=12\sqrt{3}-18\left(cm\right)\\BD=24-12\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(AD=12\sqrt{3}-18\left(cm\right)\); \(BD=24-12\sqrt{3}\left(cm\right)\)
