Question

Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH.Gọi M,N lần luôn là trung điểm của BH và AH.Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABM đồng dạng với tam giác CAN

b) AM vuông góc với CN

Answer 1

Câu a

Xét ∆ABC và ∆HBA

Góc H = góc A = 90⁰

Chung góc B

^=> ∆ABC đồng dạng ∆HBA (góc góc)

^{=>\(\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{AC}{AH}\) (tỉ lệ cặp cạnh tương ứng)}

^{=> \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BH}{AH}\)(1)}

mà ta có BM = \(\dfrac{1}{2}BH\); AN =\(\dfrac{1}{2}AH\)(2)

Từ (1)(2) =>\(\dfrac{BM}{AN}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BH}{\dfrac{1}{2}AH}=\dfrac{AB}{AC}\)

Xét ∆ABM và ∆CAN, Ta có:

Góc B = góc A₁ (do cùng phụ góc BAH)

\(\dfrac{BM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}\)

=> ∆ABM đồng dạng ∆CAN (cạnh góc cạnh)

Câu b

ta có BM = MH (M là trung điểm BH)

AN = NH (N là trung điểm AH)

=> MN là đường trung bình tam giác ABH

=> MN // AB => MN vuông góc AC (vì AB vuông góc AC)

Xét tam giác MAC có:

- MN là đường cao

- AH là đường cao

MN và AH cắt nhau tại N => CN là đường cao ứng với cạnh AM (tính chất 3 đường cao đồng quy tại trực tâm)

=> CN vuông góc AM