Lời giải:
Vì $AB:AC=3:4$ nên đặt $AB=3a, AC=4a$
Theo định lý Pitago:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow (3a)^2+(4a)^2=15^2\)
\(\Leftrightarrow 25a^2=15^2\Rightarrow a^2=9\Rightarrow a=3\)
Do đó \(AB=9; AC=12\) (cm)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\(AB^2=BH.BC\) (có thể chứng minh bằng \(\triangle BAH\sim \triangle BCA\) )
\(\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{9^2}{15}=5,4\)(cm)
\(CH=BC-BH=15-5,4=9,6\) (cm)
b)
Theo tính chất phân giác:
\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{BD}{BD+DC}=\frac{3}{3+4}=\frac{3}{7}\)
\(\Rightarrow BD=\frac{3}{7}BC=\frac{45}{7}\) (cm)
\(HD=BD-BH=\frac{45}{7}-5,4=\frac{36}{35}\) (cm)
