a) Ta có: \(\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}\)(tia AD nằm giữa hai tia BA,BC)
hay \(\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=90^0\)(1)
Ta có: ΔAHD vuông tại H(AH⊥BC, D∈HB)
nên \(\widehat{HAD}+\widehat{HDA}=90^0\)(hai góc phụ nhau)
hay \(\widehat{HAD}+\widehat{CDA}=90^0\)(2)
Ta có: AD là tia phân giác của \(\widehat{HAB}\)(cmt)
⇒\(\widehat{HAD}=\widehat{BAD}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{CAD}=\widehat{CDA}\)
Xét ΔCAD có \(\widehat{CAD}=\widehat{CDA}\)(cmt)
nên ΔCAD cân tại C(định lí đảo của tam giác cân)
b) Xét ΔCAH có
AI là đường phân giác ứng với cạnh CH
HI là đường phân giác ứng với cạnh AC
\(AI\cap HI=\left\{I\right\}\)
Do đó: CI là tia phân giác của \(\widehat{ACH}\)
hay CI là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)
Ta có: ΔACD cân tại C(cmt)
mà CI là đường phân giác ứng với cạnh đáy AD(cmt)
nên CI là đường trung tuyến ứng với cạnh AD(định lí tam giác cân)
hay CI đi qua trung điểm M của AD(đpcm)
Xét ΔAHC vuông tại H có \(\widehat{CAH}+\widehat{ACH}=90^0\)(hai góc phụ nhau)
hay \(2\cdot\left(\widehat{ACI}+\widehat{CAI}\right)=90^0\)
⇒\(\widehat{ACI}+\widehat{CAI}=45^0\)
Xét ΔCAI có \(\widehat{ACI}+\widehat{CAI}+\widehat{AIC}=180^0\)(định lí tổng ba góc trong một tam giác)
hay \(\widehat{AIC}=135^0\)
Vậy: \(\widehat{AIC}=135^0\)
