Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC ( E ∈ AB, F ∈ AC ). Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

HE.HF = BE.CF

Answer 1

Ta có: ΔHFC vuông tại F(HF⊥AC)

nên \(\widehat{CHF}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)(1)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{CHF}=\widehat{B}\)

Xét ΔBEH vuông tại E và ΔHFC vuông tại F có

\(\widehat{CHF}=\widehat{B}\)(cmt)

Do đó: ΔBEH∼ΔHFC(g-g)

⇒\(\frac{EH}{FC}=\frac{BE}{HF}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(HE\cdot HF=BE\cdot CF\)(đpcm)