Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

CMR: a) AD.AB=AE.AC=HC.HB

b) DA.DB+EA.EC=HB.HC

c) AE.AB+AD.AC=AB.AC

d) AH³=BD.CE.BC

e) 1/HD²+1/HC²=1/HE²+1/HB²

f) AB³/AC³=DB/EC

g) BD căn CH+CE căn BH= AH căn BC

Answer 1

a: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đườg cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=AH^2\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC=HB\cdot HC\)

b: \(DA\cdot DB+EA\cdot EC\)

\(=HD^2+HE^2\)

\(=DE^2=AH^2\)

c: \(AE\cdot AB+AD\cdot AC\)

\(=\dfrac{AH^2}{AC}\cdot AB+\dfrac{AH^2}{AB}\cdot AC\)

\(=AH^2\left(\dfrac{AB}{AC}+\dfrac{AC}{AB}\right)=AH^2\cdot\dfrac{AB^2+AC^2}{AB\cdot AC}\)

\(=\dfrac{AH^2\cdot BC^2}{AH\cdot BC}=AH\cdot BC\)

\(=AB\cdot AC\)