cho tam giác ABC vuông tại a, đường cao AH, Gọi D là trung điểm của AC. Lấy e là điểm đối xứng với H qua D
a, chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật
b, từ A kẻ đường thẳng song song với HE cắt BC tại I. chứng minh AIHE là hình bình hành
c,trên tia đối của HA lấy điểm K sao cho AH=HK. chứng minh tứ giác AIKC là hình thoi
d, tam giác ABC cần điều kiện gì để CAIK là hình vuông , khi đó tứ giác AHCE là hình gì ?
a) Ta có: E đối xứng với H qua D
\(\Rightarrow\)D là trung điểm của HE
Xét tứ giác AHCE có
D là trung điểm của đường chéo AC(gt)
D là trung điểm của đường chéo HE(gt)
Do đó: AHCE là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AHCE có \(\widehat{AHC}=90^0\left(AH\perp BC\right)\)
nên AHCE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: AHCE là hình chữ nhật(cmt)
\(\Rightarrow\)AE//CH(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHCE)
hay AE//HI
Xét tứ giác AIHE có
AE//HI(cmt)
EH//AI(gt)
Do đó: AIHE là hình bình hành(định nghĩa hình bình hành)
c)Ta có: AE=CH(do AE và CH là hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHCE)
mà AE=HI(do AE và HI là hai cạnh đối trong hình bình hành AIHE)
nên CH=HI
mà H nằm giữa C và I
nên H là trung điểm của CI
Xét tứ giác AIKC có
H là trung điểm của đường chéo AK(do AH=HK; A,H,K thẳng hàng)
H là trung điểm của đường chéo CI(cmt)
Do đó: AIKC là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AIKC có AK\(\perp\)CI(do AH\(\perp\)BC, K\(\in\)AH, I\(\in\)BC)
nên AKIC là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
d) Để hình thoi CAIK là hình vuông thì \(\widehat{ACK}=90^0\)
mà CI là tia phân giác của \(\widehat{ACK}\)(do CI là đường chéo trong hình thoi CAIK)
nên \(\widehat{ACI}=45^0\)
hay \(\widehat{ACB}=45^0\)
Xét \(\Delta\)ABC vuông tại A có \(\widehat{ACB}=45^0\)(cmt)
nên \(\Delta\)ABC vuông cân tại A
Ta có: \(\Delta\)ABC vuông cân tại A(cmt)
mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AH cũng là đường trung tuyến ứng với BC(định lí tam giác cân)
\(\Rightarrow AH=\frac{BC}{2}=CH=BH\)
Hình chữ nhật AHCE có AH=CH(cmt)
nên AHCE là hình vuông(dấu hiệu nhận biết hình vuông)
Vậy: khi tam giác ABC có thêm điều kiện AB=AC thì CAIK là hình vuông và khi đó, tứ giác AHCE là hình vuông
