Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = alpha . Cmr: b/thức sau không phụ thuộc vào a :

A = sin^6 a+ cos ^6 a - 2sin^4 a - cos ^4 a + sin^2 a.

a ở đây là alpha nhé !! Giúp mình với ạ

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(\sin a=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \sin ^2a=\frac{AC^2}{BC^2}\)

\(\cos a=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \cos ^2a=\frac{AB^2}{BC^2}\)

\(\Rightarrow \cos ^2a+\sin ^2a=\frac{AC^2+AB^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BC^2}=1\) (theo định lý Pitago)

Khi đó:

\(A=(\sin ^2a)^3+(\cos ^2a)^3-2\sin ^4a-\cos ^4a+\sin ^2a\)

\(=(\sin ^2a+\cos ^2a)(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)-2\sin ^4a-\cos ^4a+\sin ^2a\)

\(=\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a-2\sin ^4a-\cos ^4a+\sin ^2a\)

\(=-\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\sin ^2a=-\sin ^2a(\sin ^2a+\cos ^2a)+\sin ^2a\)

\(=-\sin ^2a+\sin ^2a=0\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào $a$ (đpcm)