a) Xét ΔABC và ΔHBA có
\(\widehat{HBA}\) chung
\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^0\right)\)
Do đó: ΔABC∼ΔHBA(g-g)
b) Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=12^2+16^2=400\)
hay \(BC=\sqrt{400}=20cm\)
Ta có: ΔABC∼ΔHBA(cmt)
⇒\(\frac{AC}{HA}=\frac{BC}{BA}\)
⇔\(\frac{16}{AH}=\frac{20}{12}\)
hay \(AH=\frac{16\cdot12}{20}=\frac{192}{20}=9,6cm\)
Vậy: BC=20cm; AH=9,6cm
c) Xét ΔDAB có DE là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)
nên \(\frac{EA}{EB}=\frac{DA}{DB}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)
Xét ΔADC có DF là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)
nên \(\frac{FC}{FA}=\frac{DC}{DA}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)
Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)
nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)
Ta có: \(\frac{EA}{EB}\cdot\frac{FC}{FA}\cdot\frac{DB}{DC}=\frac{DA}{DB}\cdot\frac{DC}{DA}\cdot\frac{AB}{AC}=\frac{DC}{DB}\cdot\frac{AB}{AC}\)(1)
Ta có: \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)(cmt)
\(\Rightarrow\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}\)(tính chất của tỉ lệ thức)(2)
Thay (2) vào (1), ta được:
\(\frac{EA}{EB}\cdot\frac{FC}{FA}\cdot\frac{DB}{DC}=\frac{AC}{AB}\cdot\frac{AB}{AC}=1\)(đpcm)
