Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12 cm; AC = 16 cm; Vẽ đường cao AH.
a/ Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

b/ Tính BC; AH.
c/ Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC trong đó ( D thuộc BC ). Tính BD.

d/Trên AH lấy điểm A sao cho AK= 3,6cm. Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Tính diện tích tứ giác BMCN.

Answer 1

a) Xét \(\Delta HBA,\Delta ABC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}:Chung\\\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(g.g\right)\)

b) Xét \(\Delta ABC\perp A\) có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (Định lí Pitago)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

Ta có : \(S_{\Delta ABC}=\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}AH.BC\\\dfrac{1}{2}AB.AC\end{matrix}\right.\Rightarrow AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH.20=12.16\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{12.16}{20}=9,6\left(cm\right)\)

c) Xét \(\Delta ABC\) có :

- AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{BD}{3}\\\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{DC}{4}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{BD+DC}{3+4}=\dfrac{BC}{7}=\dfrac{20}{7}\)

Vậy : \(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{20}{7}\Rightarrow\dfrac{20.3}{7}=\dfrac{60}{7}\left(cm\right)\)

d) Xét tứ giác BMCNcó :

\(MN//BC\left(gt\right)\)

=> Tứ giác BMCN là hình thang.

Xét \(\Delta AMK,\Delta CBA\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}=\widehat{A}=90^o\\\widehat{AMK}=\widehat{CBA}\left(\text{ đồng vị}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMK\sim\Delta CBA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{AM}{CB}=\dfrac{AK}{CA}\)

Hay : \(\dfrac{AM}{20}=\dfrac{3,6}{16}\Rightarrow AM=\dfrac{3,6.20}{16}=4,5\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) có :

\(MN//BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\)

Hay : \(\dfrac{4,5}{12}=\dfrac{MN}{20}\Rightarrow MN=\dfrac{4,5.20}{12}=7,5\left(cm\right)\)

Ta có : \(S_{BMCN}=\dfrac{\left(MN+BC\right).KH}{2}\)

\(\Rightarrow S_{BMCN}=\dfrac{\left(7,5+20\right).\left(AH-AK\right)}{2}\)

\(\Rightarrow S_{BMCN}=\dfrac{\left(7,5+20\right).6}{2}=82,5\left(cm^2\right)\)