a) Xét ΔABD và ΔAMD có
AB=AM(gt)
\(\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\)(AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), M∈AC)
AD là cạnh chung
Do đó: ΔABD=ΔAMD(c-g-c)
⇒DB=DM(hai cạnh tương ứng)
b) Ta có: \(\widehat{CMD}\) là góc ngoài đỉnh M của ΔAMD(\(\widehat{CMD}\) và \(\widehat{AMD}\) là hai góc kề bù)
nên \(\widehat{CMD}=\widehat{MAD}+\widehat{MDA}\)(định lí góc ngoài của tam giác)(1)
Ta có: \(\widehat{DBE}\) là góc ngoài đỉnh B của ΔADB(\(\widehat{DBE}\) và \(\widehat{DBA}\) là hai góc kề bù)
nên \(\widehat{DBE}=\widehat{ADB}+\widehat{BAD}\)(định lí góc ngoài của tam giác)(2)
Ta có: ΔABD=ΔAMD(cmt)
⇒\(\widehat{ADB}=\widehat{ADM}\)(hai góc tương ứng)(3)
Ta có: \(\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\)(AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), M∈AC)(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat{DBE}=\widehat{CMD}\)
Xét ΔDBE và ΔDMC có
\(\widehat{DBE}=\widehat{CMD}\)(cmt)
DB=DM(cmt)
\(\widehat{BDE}=\widehat{MDC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDBE=ΔDMC(g-c-g)
c) Ta có: AC=AM+MC(điểm M nằm giữa hai điểm A và C)
AE=AB+BE(điểm B nằm giữa hai điểm A và E)
mà AM=AB(gt)
và MC=BE(ΔDME=ΔDBE)
nên AC=AE
Xét ΔAEC có AC=AE(cmt)
nên ΔAEC cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔAEC cân tại A có \(\widehat{CAE}=90^0\)(\(\widehat{CAB}=90^0\), E∈AB)
nên ΔAEC vuông cân tại A(định nghĩa tam giác vuông cân)
d) Ta có: ΔAEC vuông cân tại A(cmt)
⇒\(\widehat{ACE}=\widehat{AEC}=45^0\)(số đo của hai góc không vuông trong ΔAEC vuông cân tại A)
mà \(\widehat{EAH}=\widehat{CAH}=\frac{\widehat{CAE}}{2}=\frac{90^0}{2}=45^0\)(AD là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\), H∈AD, E∈AB)
nên \(\widehat{ACE}=\widehat{AEC}=\widehat{CAH}=\widehat{EAH}\)
Xét ΔAHE có \(\widehat{EAH}=\widehat{AEH}\)(cmt)
nên ΔAHE cân tại H(định lí đảo của tam giác cân)
⇒AH=HE(5)
Xét ΔAHE và ΔAHC có
AE=AC(cmt)
\(\widehat{EAH}=\widehat{CAH}\)(AD là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\), H∈AD, E∈AB)
AH là cạnh chung
Do đó: ΔAHE=ΔAHC(c-g-c)
⇒HE=HC(hai cạnh tương ứng)
mà HE+HC=CE(H nằm giữa C và E)
nên \(HC=HE=\frac{CE}{2}\)(6)
Từ (5) và (6) suy ra \(AH=\frac{1}{2}\cdot EC\)(đpcm)
a) Xét 2 \(\Delta\) \(ADB\) và \(ADM\) có:
\(AB=AM\left(gt\right)\)
\(\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{A}\))
Cạnh AD chung
=> \(\Delta ADB=\Delta ADM\left(c-g-c\right)\)
=> \(DB=DM\) (2 cạnh tương ứng).
b) Theo câu a) ta có \(\Delta ADB=\Delta ADM.\)
=> \(\widehat{ADB}=\widehat{ADM}\) (2 góc tương ứng) (1).
Mà \(\widehat{BDE}=\widehat{MDC}\) (vì 2 góc đối đỉnh) (2).
Cộng theo vế (1) và (2) ta được:
\(\widehat{ADB}+\widehat{BDE}=\widehat{ADM}+\widehat{MDC}\)
=> \(\widehat{ADE}=\widehat{ADC}.\)
+ Xét 2 \(\Delta\) \(ADE\) và \(ADC\) có:
\(\widehat{EAD}=\widehat{CAD}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{A}\))
Cạnh AD chung
\(\widehat{ADE}=\widehat{ADC}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ADE=\Delta ADC\left(g-c-g\right).\)
=> \(DE=DC\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\widehat{AED}=\widehat{ACD}\) (2 góc tương ứng).
Hay \(\widehat{BED}=\widehat{MCD}.\)
+ Xét 2 \(\Delta\) \(BDE\) và \(MDC\) có:
\(\widehat{BED}=\widehat{MCD}\left(cmt\right)\)
\(DE=DC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BDE}=\widehat{MDC}\) (vì 2 góc đối đỉnh)
=> \(\Delta BDE=\Delta MDC\left(g-c-g\right).\)
c) Theo câu b) ta có \(\Delta ADE=\Delta ADC.\)
=> \(AE=AC\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\Delta AEC\) cân tại \(A.\)
Mà \(\Delta AEC\) vuông tại \(A\left(gt\right).\)
=> \(\Delta AEC\) vuông cân tại \(A\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
