Question

Cho tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng AD, kẻ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Chứng minh rằng NI vuông góc với BC

Answer 1

+ Qua N kẻ EF // BC

Kẻ EG // HK

+ EF // BC

\(\Rightarrow\dfrac{EN}{BM}=\dfrac{FN}{CM}\left(=\dfrac{AN}{AM}\right)\)

=> EN = FN ( do BM = CM )

+ NK là đường trung tuyến của ΔEFG

=> GK = KF

+ ΔAIH = ΔAIK ( cạnh huyền-góc nhọn )

=> \(\left\{{}\begin{matrix}AH=AK\\HI=KI\end{matrix}\right.\) (1)

=> ΔAHK cân tại A

=> \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\Rightarrow\widehat{AEG}=\widehat{AGE}\)

=> ΔAEG cân tại A => AE = AG (2)

+ Từ (1) và (2) => AH - AE = AK - AG

=> HE = GK => HE = KF ( do GK = KF )

+ ΔEHI = ΔFKI ( c.g.c )

=> EI = FI => ΔEFI cân tại I

=> IN ⊥ EF => IN ⊥ BC ( đpcm )