Chương II - Đường tròn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyễn thanh tuyền

cho tam giác ABC nhọn.đường tròn (o) đường kính BC ,AC lần lượt tại E và D , BD cắt CE tại H ; AH cắt BC tại I . Vẽ các tiếp tuyến AM,AN của (o) (M,N là các tiếp điểm ). Chứng minh :

a. tứ giác ADHE , ADIB nội tiếp đường tròn

b. CD . CA + BE . BA = BC2

C. M,H,N thẳng hàng

Akai Haruma
31 tháng 5 2019 lúc 22:38

Lời giải:

a)

Ta thấy \(\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow BD\perp AC,CE\perp AB\)

Mà $BD,CE$ giao nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

\(\Rightarrow AH\perp BC\) hay $AI\perp BC$

Từ $AI\perp BC,BD\perp AC, CE\perp AB$:

Xét tứ giác $ADHE$ có tổng 2 góc đối nhau \(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\) nên $ADHE$ là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác $ADIB$ có \(\widehat{ADB}=\widehat{AIB}(=90^0)\) và 2 góc này cùng nhìn cạnh $AB$ nên $ADIB$ là tứ giác nội tiếp.

b)

Vì $ADIB$ là tứ giác nội tiếp nên \(CD.CA=CI.CB(1)\)

Hoàn toàn tương tự như $ADIB$ thì $AEIC$ cũng là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow BE.BA=BI.BC(2)\)

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow CD.CA+BE.BA=CI.CB+BI.BC=BC(CI+BI)=BC^2\)

Ta có đpcm.

c)

Gọi $H',U$ lần lượt là giao của $MN$ và $AI,AO$

Ta có: \(\widehat{H'IO}=\widehat{AIO}=90^0(3)\)

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau: \(AM=AN, OM=ON\Rightarrow AO\) là trung trực của $MN$. Do đó \(AO\perp MN\) tại $U$

\(\Rightarrow \widehat{H'UO}=90^0(4)\)

Từ \((3);(4)\Rightarrow H'UOI\) là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow AH'.AI=AU.AO(5)\)

$AN$ là tiếp tuyến $(O)$ \(\Rightarrow AN\perp NO\) hay tam giác $ANO$ vuông tại $N$

Xét tam giác $ANO$ vuông tại $N$, có đường cao $NU$, sử dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(AU.AO=AN^2(6)\)

Xét tam giác $AND$ và $ACN$ có:

\(\widehat{A}\) chung; \(\widehat{AND}=\widehat{ACN}\) (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

\(\Rightarrow \triangle AND\sim \triangle ACN\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{AD}{AN}\Rightarrow AN^2=AC.AD(7)\)

Tương tự $ADHE$, ta cũng có $CIHD$ là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow AD.AC=AH.AI(8)\)

Từ \((5);(6);(7);(8)\Rightarrow AH'.AI=AH.AI\Rightarrow H\equiv H'\)

Do đó $M,H,N$ thẳng hàng (đpcm)

Akai Haruma
31 tháng 5 2019 lúc 22:39

Hình vẽ:

Đường tròn


Các câu hỏi tương tự
Hoàng
Xem chi tiết
Phương anh Vũ
Xem chi tiết
Ngưu Kim
Xem chi tiết
Phan Bá Hưng
Xem chi tiết
Nguyen Van Hoang
Xem chi tiết
kim taehyung
Xem chi tiết
Tuấn Anh
Xem chi tiết
Huynh Phuc CHu
Xem chi tiết
Quang Tran
Xem chi tiết