Cho tam giác ABC nhọn, M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và BC.
1. Các tứ giác BMNC và BMNP là hình gì? Tại sao?
2. Gọi H là trực tâm tam giác ABC; D, E, F lần lượt là trung điểm của BH, CH, AH. Chứng minh DN = ME.
3. Gọi O là giao điểm ME và DN. Chứng minh ba điểm P, O, F thẳng hàng.
Giải:
a, MN là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow\)MN // BC (1)
\(\Rightarrow BMNC\) là hình thang
NP là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow\)NP // AB (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow BMNP\) là hình bình hành
b, Gọi giao điểm của AH với MN, DE lần lượt là K, N
MD là đường trung bình tam giác ABH
=> MD // AH và \(MD=\dfrac{1}{2}AH\)
Tương tự => NE // AH và \(NE=\dfrac{1}{2}AH\)
=> MD // NE và MD = NE
=> MNED là hình bình hành (*)
Dễ thấy \(\widehat{MKN}=\widehat{KND}=90^o\)
MK // AH \(\Rightarrow\widehat{KMD}=90^o\) (**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow MNED\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow DN=ME\)
c) DF là đường trung bình của \(\Delta ABH\) (vì D, F lần lượt là trung điểm của BH, AH)
\(\Rightarrow\) DF // AB và DF = \(\dfrac{1}{2}\)AB
NP là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (vì N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC)
\(\Rightarrow\) NP // AB và NP = \(\dfrac{1}{2}\)AB
\(\Rightarrow\) DF // NP (cùng // AB) và DF = NP (= \(\dfrac{1}{2}\)AB)
\(\Rightarrow\) PDFN là hình bình hành
\(\Rightarrow\) Đường chéo PF đi qua trung điểm O của đường chéo DN và O là trung điểm của PF
Vậy P, O, F thẳng hàng (đpcm).
Nguyễn Nam Akai Haruma Phạm Hoàng Giang lê thị hương giang Hồng Phúc Nguyễn Võ Đông Anh Tuấn Trần Hoàng Nghĩa Ngân Hải Shinichi Kudo Nguyễn Thanh Hằng Nguyễn Huy Thắng ChessEvanDik
