Question

Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC, các đường cao BD và CEcawts nhau tại H. M là TĐ của BC, F là điểm đối xứng với H qua M. G là điểm đối xứng với H qua BC. C/m:

a) BH // CF vag BF//CH

b) BCFG là hình thang cân

c) AF \(\perp\) DE

Answer 1

a) Xét tứ giác $BHCF$ có:

\(HM=MF\left(gt\right)\\ BM=CM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow BHCF\) là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

\(\Rightarrow BH//CF;BF//HC\) (đpcm)

b) Vì $BH//CF$ \(\Rightarrow\widehat{HBC}=\widehat{BCF}\left(1\right)\) (so le trong)

$G$ đối xứng với $H$ qua $BC$

\(\Rightarrow BC\perp HG\) tại trung điểm $I$ của $HG$

Xét \(\Delta BHG\) có $BI$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao \(\Rightarrow\Delta BHG\) cân tại $B$

\(\Rightarrow BI\) là đường phân giác \(\Rightarrow\widehat{HBC}=\widehat{CBG}\left(2\right)\)

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: \(\widehat{BCF}=\widehat{CBG}\)

Xét \(\Delta HGF\) có:

$I$ là trung điểm $HG$

$M$ là trung điểm $HF$

\(\Rightarrow IM\) là đường trung bình trong \(\Delta HGF\)

\(\Rightarrow IM//GF\) hay \(BC//GF\)

\(\Rightarrow BCFG\) là hình thang

Mà \(\widehat{BCF}=\widehat{CBG}\)\(\Rightarrow BCFG\) là hình thang cân