Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi E là trung điểm AC, F là điểm đối xứng H qua E.
a, CM AFCH là hình chữ nhật.
b, Gọi O là trung điểm AH. CM B, O, F là 3 điểm thẳng hàng.
c, Gọi I là giao điểm BF, AC. CM IF = 2/3 OB.
d, Gọi M là hình chiếu E trên BC. Tam giác ABC cần điều kiện gì để OEMH là hình vuông?
a) Xét tứ giác EDCB có ED//BC(gt)
nên EDCB là hình thang có hai đáy là ED và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang EDCB có ˆB=ˆDCBB^=DCB^(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên EDCB là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
b) Xét tứ giác AKCH có
D là trung điểm của đường chéo AC(gt)
D là trung điểm của đường chéo HK(H và K đối xứng nhau qua D)
Do đó: AKCH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AKCH có ˆAHC=900AHC^=900(AH⊥BC)
nên AKCH là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
c) Xét ΔABC cân tại A có AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)
⇒H là trung điểm của BC
hay HB=HC
mà HC=AK(Hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHCK)
nên BH=AK
Xét ΔABC có
H là trung điểm của BC(cmt)
D là trung điểm của AC(gt)
Do đó: HD là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒HD//AB và AE=AB2AE=AB2(2)
Từ (1) và (2) suy ra HD//AE và HD=AE
Xét tứ giác AEHD có
HD//AE(cmt)
HD=AE(cmt)
Do đó: AEHD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AH và ED cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà AH cắt ED tại F
nên F là trung điểm chung của AH và ED
Xét tứ giác AKHB có
AK//HB(AK//HC, B∈HC)
AK=HB(cmt)
Do đó: AKHB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AH và BK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà F là trung điểm của AH(cmt)
nên F là trung điểm của BK(đpcm)
a) Xét tứ giác AHCF có
E là trung điểm của đường chéo AC(gt)
E là trung điểm của đường chéo HF(H đối xứng với F qua E)
Do đó: AHCF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AHCF có \(\widehat{AHC}=90^0\)(gt)
nên AHCF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b)
Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AH chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHC(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: BH=HC(Hai cạnh tương ứng)(1)
Ta có: AHCF là hình chữ nhật(cmt)
nên AF//HC và AF=HC(Hai cạnh đối của hình chữ nhật AHCF)(2)
Từ (1) và (2) suy ra BH//AF và BH=AF
Xét tứ giác ABHF có
BH//AF(cmt)
BH=AF(cmt)
Do đó: ABHF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Suy ra: Hai đường chéo AH và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà O là trung điểm của AH(gt)
nên O là trung điểm của BF
hay B,O,F thẳng hàng(đpcm)
