Question

Cho tam giác ABC nhọ, nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.( D thuộc AC, E thuộc AB)|
a, C/m ADHE nội tiếp đường tròn
b, Tia BD và CE lần lượt cắt đường tròn tại 2 điểm Là M và N. C/m HB.HM=HC.HN
c, C/m OA vuông góc DE

Answer 1

a) Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

Suy ra tứ giác ADHE nội tiếp

b) Xét △HMN và △HCB có

\(\widehat{NHM}=\widehat{CHB}\)(đối đỉnh)

\(\widehat{HMN}=\widehat{HCB}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{BN}\))

Suy ra △HMN \(\sim\) △HCB(g-g)

\(\Rightarrow\frac{HM}{HC}=\frac{HN}{HB}\Rightarrow HB.HM=HC.HN\)

c) Xét tứ giác EDCB có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}\left(=90^0\right)\)

Suy ra tứ giác EDCB nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)

Vẽ đường kính AOF

Ta có \(\widehat{EAO}+\widehat{AED}=\widehat{EAO}+\widehat{ACB}=\frac{sd\stackrel\frown{BF}}{2}+\frac{sd\stackrel\frown{AB}}{2}=\frac{sd\stackrel\frown{BF}+sd\stackrel\frown{AB}}{2}=\frac{sd\stackrel\frown{AF}}{2}=\frac{180^0}{2}=90^0\Rightarrow\widehat{EAO}+\widehat{AED}=90^0\) hay OA⊥DE