a) Ta có: AE = BE (gt)
AN = CN (gt)
BM = CM (gt)
mà AB = AC = BC (tam giác ABC đều)
\(\Rightarrow AE=BE=AN=CN=BM=CM\)(1)
Xét ba tam giác BAN, CAE và ACM ta có:
AB = AC (gt) (2)
góc BAC = góc ACM (gt) (3)
AE = AN = MC (gt) (4)
Từ (2),(3),(4) \(\Rightarrow\) ba tam giác BAN, CAE và ACM bằng nhau (5)
Từ (5) \(\Rightarrow\) AM = BN = CE (các cạnh tương ứng)
b) Xét các tam giác ABM, ACM, ABN, CBN, ACE, BCE ta có:
AB = AC = BC (gt) (6)
góc BAC = góc ABC = góc ACB (gt) (7)
AE = BE = AN = CN = BM = CM (1)
Từ (6),(7),(1) \(\Rightarrow\) các tam giác ABM, ACM, BAN, BCN, ACE, BCE bằng nhau (8)
Từ (8) \(\Rightarrow\) góc BAM = góc CAM = góc ABN = góc CBN = góc ACE = góc BCE
\(\Rightarrow\) góc CAM = góc ABN = góc BCE (9)
Từ (8) \(\Rightarrow\) góc AMB = góc AMC = góc BNA = góc BNC = góc AEC = góc BEC
\(\Rightarrow\) góc BNA = góc BEC = góc AMC (10)
Xét ba tam giác ANG, BEG, CMG ta có:
góc CAM = góc ABN = góc BCE (9)
AN = BE = MC (gt) (11)
góc BNA = góc BEC = góc AMC (10)
Từ (9),(11),(10) \(\Rightarrow\) ba tam giác ANG, BEG, CMG bằng nhau (12)
Từ (12) \(\Rightarrow\) GA = GB = GC (các cạnh tương ứng)
c) Xét ba tam giác AEN, BME, CMN ta có:
AN = BE = MC (gt) (11)
góc BAN = góc ABC = góc ACB (gt) (7)
AE = BM = CN (gt) (12)
Từ (11),(7),(12) \(\Rightarrow\) ba tam giác AEN, BME, CMN bằng nhau (13)
Từ (13) \(\Rightarrow ME=MN=EN\)(các cạnh tương ứng)
nên \(\Delta MNE\) là tam giác đều
