Kí hiệu tam giác viết là t/g nhé
Trên tia đối của NM lấy K sao cho NM = NK
Xét t/g ANM và t/g CNK có:
AN = NC (gt)
ANM = CNK ( đối đỉnh)
NM = NK ( cách vẽ)
Do đó, t/g ANM = t/g CNK (c.g.c)
=> AM = KC (2 cạnh tương ứng)
= BM
và MAN = KCN (2 góc tương ứng)
Mà MAN và KCN là 2 góc so le trong
Nên AM // CK hay AB // CK
Nối đoạn MC
Xét t/g BMC và t/g KCM có:
BM = KC (cmt)
BMC = KCM (so le trong)
CM là cạnh chung
Do đó, t/g BMC = t/g KCM (c.g.c)
=> BC = MK (2 cạnh tương ứng)
Mà MN = 1/2MK ( cách vẽ) nên MN = 1/2BC (đpcm)
Hình nè:
Lấy I ∈ MN sao cho N là trung điểm MI
Xét ΔAMN và ΔCIN ta có:
MN = NI (N là trung điểm MI)
\(\widehat{ANM}=\widehat{CNI}\) (đối đỉnh)
AN = NC (N là trung điểm của AC)
=> ΔAMN = ΔCIN (c - g - c)
=> AM = CI (2 cạnh tương ứng)
Mà: AM = BM (M là trung điểm của AB)
=> BM = CI (1)
Có: ΔAMN = ΔCIN (cmt)
=> \(\widehat{AMN}=\widehat{NIC}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lại là 2 góc so le trong
=> AM // CI
=> BM // CI
=> \(\widehat{MBI}=\widehat{BIC}\) (2 góc tương ứng)
Xét ΔMIB và ΔCBI ta có:
BM = CI (đã chứng minh ở 1)
\(\widehat{MBI}=\widehat{BIC}\) (cmt)
BI: cạnh chung
=> ΔMIB = ΔCBI (c - g - c)
=> \(\widehat{MIB}=\widehat{CBI}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lai là 2 góc so le trong nên
=> MI // BC
Hay: MN // BC
Có: ΔMIB = ΔCBI (cmt)
=> MI = BC (2 cạnh tương ứng)
Lại có: \(MN=\frac{1}{2}MI\) (N là trung điểm MI)
=> \(MN=\frac{1}{2}BC\)
