Question

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB,BC,CA là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng HM=2

Giúp em với....

Càng nhiều cách càng tốt nha, em cảm ơn

Answer 1

p/s: Dạng này ta có 2 trường hợp cần bàn đến.

Ta có: Đặt \(BC=a\Rightarrow AB=a-1;AC=a+1\)

\(BH=BM-HM\) (với \(B< 90^o\))

\(BH=HM-BM\) (với \(B>90^o\))

\(\Leftrightarrow HB^2=\left(\dfrac{a}{2}-x\right)^2\)

Tương tự: \(HC^2=\left(\dfrac{a}{2}+x\right)^2\)

Ta lại có: \(AB^2-BH^2=AC^2-HC^2=AH^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}-x\right)^2=\left(a+1\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}+x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1-\dfrac{a^2}{4}+ax-x^2=a^2+2a+1-\dfrac{a^2}{4}-ax-x^2\)

\(\Leftrightarrow4a=2ax\Leftrightarrow x=2\)

=> HM=2