Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ đường trong tâm (O) đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của BE và CD
a. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
b. Gọi F là giao điểm của AH với BC. Chứng minh rằng DH là tia phân giác của góc EDF.
Vẽ hình giúp mình với!!(ko cũng đc)
Lời giải:
a)
Do $BC$ là đường kính $(O)$ nên:
$\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow BE\perp AC, CD\perp AB$
$\Rightarrow \widehat{HDA}=\widehat{HEA}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{HDA}+\widehat{HEA}=180^0$
Tứ giác $ADHE$ có tổng 2 góc đối nhau bằng $180^0$ nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b)
Vì $CD\perp AB, BE\perp AC$ (cmt) và $CD\cap BE$ tại $H$ nên $H$ chính là trực tâm của tam giác $ABC$
$\Rightarrow AH\perp BC$ tại $F$
$\Rightarrow \widehat{HFB}=\widehat{HDB}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{HFB}+\widehat{HDB}=180^0$
Tứ giác $DHFB$ có 2 góc đối có tổng là $180^0$ nên là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{FDH}=\widehat{FBH}=\widehat{CBE}$
Mà $\widehat{CBE}=\widehat{CDE}=\widehat{HDE}$ (góc nt cùng chắn cung $CE$)
$\Rightarrow \widehat{FDH}=\widehat{HDE}$
$\Rightarrow DH$ là tia phân giác của góc $\widehat{EDF}$
