Question

cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.

a, Cm: \(\Delta AHF\sim\Delta ABD\)

b, Cm: AE.AC=AF.AB

c,Cm :\(\widehat{ABE}\) = \(\widehat{ADF}\)

d, cho góc \(\widehat{BAC}\) = 60^o , diện tích bằng 1. Tính diện tích tứ giác BCEF

Answer 1

a) Có CF⊥AB, AD⊥BC => góc ADB = góc AFH = 90^o
Xét △AFH và △ADB có
góc ADB = góc AFH = 90^o (cmt)
góc BAD chung
Do đó △AFH đồng dạng với △ADB (g.g)
b)Vì △AFH đồng dạng với △ADB (cmt)
nên ​\(\dfrac{AF}{AD}\) = \(\dfrac{AH}{AB}\) <=> AF.AB = AD.AH (1)
Có BE⊥AC => góc AEB = góc ADC = 90^o
Xét △AEH và △ADC có
góc AEB = góc ADC = 90^o
góc DAC chung
Do đó △AEH đồng dạng với △ADC (g.g)
=> \(\dfrac{AE}{AD}\) = ​\(\dfrac{AH}{AC}\) <=> AE.AC = AD.AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AF.AB = AE.AC
c) Xét △AFD và △AHB có
góc BAD chung; ​\(\dfrac{AF}{AD}\) = \(\dfrac{AH}{AB}\) (cmt)
Do đó △AFD đồng dạng với △AHB(g.g)
=> góc ABH = góc ADF
=> góc ABE = góc ADF
d)△AFC vuông tại F có góc FAC = 60^o
nên △​AFC là nửa △​đều
=> AF = \(\dfrac{1}{2}\)AC <=> AC = 2AF (3)
Xét △AFE và △ACB có
góc FAE chung; \(\dfrac{AF}{AC}\) = \(\dfrac{AE}{AB}\) (vì AF.AB = AE.AC)
Do đó △AFE đồng dạng với △ACB (c.g.c)
=>\(\dfrac{S_{AFE}}{S_{ACB}}\) = ​(\(\dfrac{AF}{AC}\))² (4)
Thay (3) vào (4) ta được \(\dfrac{S_{AFE}}{S_{ACB}}\) = ​(\(\dfrac{AF}{2AF}\))² = ​(\(\dfrac{1}{2}\))² = \(\dfrac{1}{4}\)
<=> S_AFE = S_ACB.\(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{1}{4}\) (cm²) (vì S_ACB = 1)
Do đó S_BCEF = S_ACB - S_AFE = 1-\(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{3}{4}\)(cm²)