Question

Cho tam giác ABC có AB=\(\frac{1}{2}AC\), phân giác AD(D\(\in\) BC), E là trung điểm cạnh AC. Gọi giao điểm của ED và AB là K. Chứng minh:
a.\(\Delta ADB=\Delta ADE;\Delta BDK=\Delta EDC\)

b. AD là đường trung trực của KC

Answer 1

a)

Ta có :

\(\left\{\begin{matrix}AE=EC=\frac{1}{2}AC\text{( E là trung điểm cạnh AC )}\\AB=\frac{1}{2}AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AE=EC=AB=\frac{1}{2}AC\)

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADE\), ta có :

\(\left\{\begin{matrix}AD\text{ là cạnh chung}\\DAB=DAE\\AB=AE\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\text{( AD là p/g góc BAC )}\)

\(\Rightarrow\Delta ADB=\Delta ADE\left(c.g.c\right)\)

Ta có : ABD = AED ( \(\Delta ADB=\Delta ADE\) )

Mà \(\left\{\begin{matrix}ABD+DBK=180^o\text{( kề bù )}\\AED+DEC=180^o\text{( kề bù )}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow DBK=DEC\)

Xét \(\Delta BDK\) và \(\Delta EDC\), ta có :

\(\left\{\begin{matrix}DBK=DEC\left(cmt\right)\\BD=ED\left(\Delta ADB=\Delta ADE\right)\\BDK=CDE\text{( đối đỉnh )}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BDK=\Delta EDC\)