Question

Cho tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC \(\left(H\in BC\right)\). Gọi K là giao điểm của AB vag HE. Chứng minh rằng :

a) \(\Delta ABE=\Delta HBE\)

b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH

c) EK = EC

d) AE < EC

Answer 1

Answer 2

Answer 3

a,Xét tam giác ABE và tam giác HBE có :

BE chung;góc ABE=HBE(BE là tia p/g)

Suy ra 2 tam giác trên bằng nhau theo trường hợp (ch-gn)

b,Ta có BA=BH(2 tam giác trên bằng nhau)

suy ra B thuộc đường trung trực của AH (1)

EA=EH

suy ra E thuộc đường trung trực của AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BE là đường trung trực của AH

c,Xét tam giác EAK và tam giác EHC có :

góc AEK=HEC(đối đỉnh);góc EAK=EHC(=90);AE=EH(cmt)

Suy ra 2 tam giác đó = nhau theo trường hợp (g.c.g)

suy ra EK=EC

d,Trong tam giác EHC có góc EHC=90 ,do góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh huỳen là cạnh lớn nhất

suy ra HE nhỏ hơn EC (3)

Mà AE=HE(tam giác EAK=EHC) (4)

Từ (3) và (4) suy ra AE nhỏ hơn EC

Answer 4

Answer 5

a)∆ABE = ∆HBE

Xét hai tam giác vuông ∆ABE và ∆HBE, ta có:

(do BE là phân giác của góc B)

BE : cạnh huyền chung

Vậy ∆ABE = ∆HBE (g.c.g)

b) Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

Vì ∆ABE = ∆HBE

=>BA = BH, EA = EH

=>E, B cùng thuộc trung trực của AH nên đường thẳng EB là trung trực của AH.

c) EK = EC.

Xét 2 tam giác ∆AEK và ∆HEC , ta có:

EA = EH (chứng minh trên)

(đối đỉnh)

Vậy ∆AEK = ∆HEC => EK = EC (đpcm)

Trong tam giác vuông AEK ta có:

AE < EK (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)

Mà EC = EK. Suy ra EC < EK (đpcm)