Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta ANF\)có:
\(\widehat{ANE}=\widehat{ÀNF}=90^o\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (AN là phân giác góc A)
AN chung
=> \(\Delta ANE=\Delta ANF\left(CGV-GN\right)\)
=> \(\widehat{AFN}=\widehat{AEN}\) (2 góc tương ứng)
=> AE = AF( 2 cạnh tương ứng)
vậy AE = AF
b) Kẻ tia Cx // AB, NF cắt Cx tại K.Ta có:
Xét \(\Delta BME\) và \(\Delta CMK\) có:
\(\widehat{BME}=\widehat{CMK}\) (đối đỉnh)
BM = MC (M là trung điểm BC)
Vì tia Cx // AB mà NF cắt Cx tại K => CK//AB
=> \(\widehat{CKM}=\widehat{BEM}\) (so le trong)
\(\Delta BME\) có: \(\widehat{MBE}+\widehat{BEM}+\widehat{BME}=180^o\)
\(\Delta CMK\) có: \(\widehat{MCK}+\widehat{CKM}+\widehat{CMK}=180^o\)
\(\widehat{MBE}+\widehat{BEM}+\widehat{BME}=\widehat{KCM}+\widehat{CKM}+\widehat{CMK}=180^o\)
Mà \(\widehat{BME}=\widehat{CMK}\) (đối đỉnh) và \(\widehat{BEM}=\widehat{CKM}\) (so le trong)
=> \(\widehat{MBE}=\widehat{KCM}\)
=> \(\Delta BME=\Delta CMK\left(g.c.g\right)\)
=> BE = CK ( 2 cạnh tương ứng) (1)
ta lại có: \(\widehat{BEM}=\widehat{CKM}\) (so le trong)
Mà \(\widehat{AEN}=\widehat{AFN}\left(cmt\right)\) và \(\widehat{AFN}=\widehat{KFC}\) (đối đỉnh)
=> \(\widehat{CKM}=\widehat{KFC}\)
\(\Delta CFK\) có: \(\widehat{CKF}=\widehat{CFK}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta CFK\) cân tại C
=> CF = CK (2)
Từ 1 và 2 => CF = BE (đpcm)
c) ta có: AE = AB + BE
AF = AC - FC
mà AE = AF(cmt) => AE = AF = AB + BE = AC - FC
=> 2AE = AB + BE + AC - FC
Mà BE = FC
=> 2AE = AB + AC
=> \(AE=\dfrac{AB+AC}{2}\) (đpcm)
