A, - Xét tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền .
=> \(AM=\frac{1}{2}BC=CM=BM\)
- Xét tam giác CMA có : \(AM=CM\)
=> Tam giác CMA cân tại M .
=> \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\) ( tính chất tam giác cân )
Ta lại có : \(\widehat{MCA}+\widehat{CBA}=90^o\) và \(\widehat{HAB}+\widehat{CBA}=90^o\)
=> \(\widehat{MCA}=\widehat{HAB}\)
=> \(\widehat{MAC}=\widehat{HAC}\) ( đpcm )
b, - Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ACH vuông tại H , HE vuông góc với AC có :
\(AH^2=AE.AC\)
- Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABH vuông tại H , HD vuông góc với AB có :
\(AH^2=AB.AD\)
=> \(AE.AC=AB.AD\left(=AH^2\right)\)
=> \(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\)
- Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ABC\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\left(cmt\right)\\\widehat{BAC}=90^o\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta AED\) ~ \(\Delta ABC\) ( c - g - c )
=> \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\) ( góc tương ứng )
Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)
=> \(\widehat{AED}+\widehat{ACB}=90^o\)
Mà \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\) ( cmt câu a )
=> \(\widehat{MAC}+\widehat{AED}=90^o\)
Ta lại có : \(\widehat{MAC}+\widehat{AED}+\widehat{EIA}=180^o\)
=> \(\widehat{EIA}=90^o\)
Vậy AM vuông góc với ED tại K .
