Question

Cho tam giác ABC có 2 cot A + 2 cot C = cot B. CMR: sin B ≥ 3/5

Answer 1

Ta có:

\(cotA=\dfrac{cosA}{sinA}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\dfrac{2S}{bc}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}\)

Tương tự...

Thay vào đề bài:

\(2\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}\right)=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}\)

\(\Rightarrow4b^2=a^2+c^2-b^2\Rightarrow5b^2=a^2+c^2\)

\(\Rightarrow cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{a^2+c^2-\dfrac{a^2+c^2}{5}}{2ac}=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)}{5ac}\ge\dfrac{4ac}{5ac}=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow sinB=\sqrt{1-cos^2B}\le\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2}=\dfrac{3}{5}\)

Em kiểm tra lại đề, BĐT đề bài bị ngược dấu