Hình bạn tự vẽ nha!
a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\) (tính chất tam giác cân)
Xét 2 \(\Delta\) \(ABM\) và \(ACN\) có:
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
\(BM=CN\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c-g-c\right)\)
=> \(AM=AN\) (2 cạnh tương ứng)
Vì H là trung điểm của \(BC.\)
=> \(BH=CH.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(ABH\) và \(ACH\) có:
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(BH=CH\left(cmt\right)\)
Cạnh AH chung
=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\left(c-c-c\right)\)
=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\) (vì 2 góc kề bù)
=> \(2.\widehat{AHB}=180^0\)
=> \(\widehat{AHB}=180^0:2\)
=> \(\widehat{AHB}=90^0.\)
=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\)
=> \(AH\perp BC.\)
b) Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AMH\) và \(ANH\) có:
\(\widehat{AHM}=\widehat{AHN}=90^0\)
\(AM=AN\left(cmt\right)\)
Cạnh AH chung
=> \(\Delta AMH=\Delta ANH\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> \(MH=NH\) (2 cạnh tương ứng)
=> \(H\) là trung điểm của \(MN.\)
Ta có: \(HB=HC=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H có:
\(AH^2+HB^2=AB^2\) (định lí Py - ta - go)
=> \(AH^2+3^2=5^2\)
=> \(AH^2=25-9\)
=> \(AH^2=16\)
=> \(AH=4cm\) (vì \(AH>0\))
Lại có: \(BM=MN=NC\left(gt\right)\)
Mà \(BM+MN+NC=BC\)
=> \(3.BM=6\)
=> \(BM=6:3\)
=> \(BM=2.\)
=> \(BM=MN=NC=2\left(cm\right)\)
=> \(HM=HN=1\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta AMH\) vuông tại H có:
\(AM^2=AH^2+MH^2\) (như ở trên)
=> \(AM^2=4^2+1^2\)
=> \(AM^2=16+1\)
=> \(AM^2=17.\)
=> \(AM=\sqrt{17}cm\) (vì \(AM>0\))
Còn câu c) thì bạn tham khảo tại đây nhé: Câu hỏi của Phạm Tố Uyên.
Chúc bạn học tốt!
