Cho tam giác ABC cân tại B. Cho góc A = 60 độ
a) Tính số đo các góc B, góc C?
b) Vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH. c) Biết AB = 10cm, tính AH?
d) Vẽ CK vuông góc với AB (K thuộc AB). Gọi O là giao điểm của AH và CK. Chứng minh : tam giác AKO = tam giác
CHO.
e) Vẽ BP vuông góc với AC (P thuộc AC). Chứng minh: B, O, P thẳng hàng.
a) Xét ΔABC cân tại B có \(\widehat{A}=60^0\)(cmt)
nên ΔABC đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
⇒\(\widehat{B}=\widehat{C}=60^0\)
Vậy: \(\widehat{B}=60^0\); \(\widehat{C}=60^0\)
b) Ta có: ΔABC đều(cmt)
⇒AB=AC=BC
Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có
AB=AC(cmt)
AH là cạnh chung
Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
c) Ta có: AB=BC(cmt)
mà AB=10cm(gt)
nên BC=10cm
Ta có: ΔABH=ΔACH(cmt)
⇒BH=CH(hai cạnh tương ứng)
mà BH+CH=BC=10cm(H nằm giữa B và C)
nên \(BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5cm\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được
\(AB^2=AH^2+HB^2\)
hay \(AH^2=AB^2-HB^2=10^2-5^2=75\)
⇔\(AH=\sqrt{75}=5\sqrt{3}cm\)
Vậy: \(AH=5\sqrt{3}cm\)
d) Xét ΔACK vuông tại K và ΔBCK vuông tại K có
AC=BC(cmt)
CK là cạnh chung
Do đó: ΔACK=ΔBCK(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒AK=BK(hai cạnh tương ứng)
mà AK+BK=AB(K nằm giữa A và B)
nên \(AK=BK=\frac{AB}{2}\)
mà \(BH=HC=\frac{BC}{2}\)(cmt)
và AB=BC(cmt)
nên AK=HC
Ta có: ΔOHC vuông tại H(AH⊥BC, O∈AH)
nên \(\widehat{HOC}+\widehat{HCO}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(1)
Ta có: ΔAKO vuông tại K(CK⊥AB, O∈CK)
nên \(\widehat{AOK}+\widehat{KAO}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(2)
mà \(\widehat{COH}=\widehat{AOK}\)(hai góc đối đỉnh)(3)
nên từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{KAO}=\widehat{OCH}\)
Xét ΔAOK vuông tại K và ΔOHC vuông tại H có
AK=HC(cmt)
\(\widehat{KAO}=\widehat{OCH}\)(cmt)
Do đó: ΔAOK=ΔOHC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
e) Xét ΔABC có
AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)
CK là đường cao ứng với cạnh AB(gt)
\(AH\cap CK=\left\{O\right\}\)
Do đó: O là trực tâm của ΔABC
⇒BO là đường cao ứng với cạnh AC
hay BO⊥AC
mà BP⊥AC(gt)
và BO và BP có điểm chung là B
nên B,O,P thẳng hàng(đpcm)
