a. \(AH\perp BC\Rightarrow\) AH là đường cao
Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến => BH = CH
Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta DCH\) có:
BH = CD (cmt)
HA = DH (gt)
\(\widehat{AHB}=\widehat{DHC}\)
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta DCH\left(c.g.c\right)\left(1\right)\Rightarrow AB=DC\)
Mà AB = AC ( \(\Delta ABC\) cân )
\(\Rightarrow DC=AC\Rightarrow\Delta ACD\) cân
b. Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{DCH}\)
Mà \(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) ( \(\Delta ABC\) cân)
\(\Rightarrow\widehat{DCH}=\widehat{ACH}\)
Có \(\widehat{ECD}+\widehat{DCH}=180^o\) ( 2 góc kề bù )
\(\widehat{ECA}+\widehat{ACH}=180^o\) ( 2 góc kề bù )
\(\Rightarrow\widehat{ECD}=\widehat{ECA}\)
Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta DCE\) có:
CE chung
AC = DC ( theo phần a)
\(\widehat{ECA}=\widehat{ECD}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ACE=\Delta DCE\left(c.g.c\right)\)
c. Xét \(\Delta ADE\) có AH = HD => EH là đường trung tuyến ( 2 )
Có \(BC=CE=\dfrac{BE}{2}\)
\(BH=CH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{CE}{2}\)
\(\Rightarrow CE+CH=CE+\dfrac{CE}{2}\)
\(\Rightarrow EH=\dfrac{3CE}{2}\) hay \(CE=\dfrac{2}{3}EH\left(3\right)\)
Từ ( 2 ) và (3) => C là trọng tâm \(\Delta ADE\)
=> AC là đường trung tuyến ứng với cạnh DE hay AK là đường trung tuyến ứng với cạnh DE
\(\Rightarrow DK=KE=\dfrac{DE}{2}\Rightarrow2DK=DE\)
Xét tam giác CED có CE + CD > DE = 2DK (BĐT tam giác)
Mà CE = BC ; CD = AC = AB
\(\Rightarrow AB+BC>2DK\)
