Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia đối của tia BC và tia CB lấy theo thứ tự 2 điểm D và E sao cho BD=CE
a)CMR:tam giác ADE cân
b) Gọi M là trung điểm của BC.CMR:AM là tia phân giác của goc DAE và AM vuông góc DE
c)Từ B và C kẻ BH, CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE.Cmr:BH=CK
d)CMR:HK//BC
e)Cho HB giao CK ={N} . CMR: A,M,N thẳng hàng
a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\) (tính chất tam giác cân).
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^0\\\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^0\end{matrix}\right.\) (các góc kề bù).
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(ABD\) và \(ACE\) có:
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)
\(BD=CE\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c-g-c\right)\)
=> \(AD=AE\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\Delta ADE\) cân tại A.
b) Vì M là trung điểm của \(BC\left(gt\right)\)
=> \(BM=CM\) (tính chất trung điểm).
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}BD+BM=DM\\CE+CM=EM\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CE\left(gt\right)\\BM=CM\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(DM=EM.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(ADM\) và \(AEM\) có:
\(AD=AE\left(cmt\right)\)
\(DM=EM\left(cmt\right)\)
Cạnh AM chung
=> \(\Delta ADM=\Delta AEM\left(c-c-c\right)\)
=> \(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\) (2 góc tương ứng).
=> \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat{DAE}.\)
+ Vì \(\Delta ADE\) cân tại \(A\left(cmt\right)\).
Có \(AM\) là đường phân giác của \(\widehat{DAE}\left(cmt\right).\)
=> \(AM\) đồng thời là đường cao của \(\Delta ADE.\)
=> \(AM\perp DE.\)
c) Theo câu a) ta có \(\Delta ABD=\Delta ACE.\)
=> \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}\) (2 góc tương ứng).
Hay \(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABH\) và \(ACK\) có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^0\left(gt\right)\)
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ABH=\Delta ACK\) (cạnh huyền - góc nhọn).
=> \(BH=CK\) (2 cạnh tương ứng).
Chúc bạn học tốt!
