Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD = CF.
a) Chứng minh tam giác ADE cân.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE.
c) Từ B và C kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh BH = CK.
d) Chứng minh 3 đường thẳng AM, BH, CK gặp nhau tại một điểm.
a) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)
Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^{^O}\\\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^{^O}\end{matrix}\right.\left(Kềbù\right)\)
Suy ra : \(180^{^O}-\widehat{ABC}=180^{^O}-\widehat{ACB}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
Xét ΔABD và ΔACE có :
\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)
\(BD=CE\left(gt\right)\)
=> \(\text{ΔABD = ΔACE}\) (c.g.c)
=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)
Do đó, \(\Delta ADE\) cân tại A.
b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CE\left(gt\right)\\BM=MC\left(\text{M là trung điểm của BC}\right)\end{matrix}\right.\)
Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}DM=BD+BM\\EM=CE+CM\end{matrix}\right.\)
Suy ra : \(BD+BM=CE+CM\)
\(\Leftrightarrow DM=EM\)
Xét \(\Delta ADM,\Delta AEM\) có :
AD = AE (cmt)
\(AM:Chung\)
\(DM=EM\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ADM=\Delta AEM\left(c.c.c\right)\)
=> \(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\) (2 góc tương ứng)
=> AM là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\)
=> đpcm
c) Xét \(\Delta HDB,\Delta KEC\) có :
\(\widehat{DHB}=\widehat{EKC}\left(=90^{^O}\right)\)
DB = CE (gt)
\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\) (ΔABD = ΔAEC)
=> \(\Delta HDB=\Delta KEC\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BH = CK (2 cạnh tương ứng).
