cho tam giác ABC cân tại A .Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC gọi là AH. Kẻ HM vuông góc AB ,HN vuông góc AC .
a, Chứng minh : HM = HN
b, Trên tia đối của NH lấy F sao cho NF = NH. Chứng minh: FC vuông góc AF
c, Qua H kẻ đường thẳng song song FC cắt AC tại I. Chứng minh : IF song song BC
d, Trên tia đối của MH lấy E sao cho ME = MH. Chứng minh : E , I , F thẳng hàng
a) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACH\) có :
\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> HB= HC (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta MBH,\Delta NCH\) có :
\(\widehat{MBH}=\widehat{KCH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
\(BH=CH\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BMH}=\widehat{CNH}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta MBH=\Delta NCH\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> HM = HN (2 cạnh tương ứng)
b) Xét \(\Delta AHN,\Delta AHF\) có :
\(NH=FN\left(gt\right)\)
\(\widehat{ANH}=\widehat{ANF}\left(=90^o\right)\)
\(AN:Chung\)
=> \(\Delta AHN=\Delta AHF\left(c.g.c\right)\)
Xét \(\Delta HNC,\Delta FNC\) có :
\(\widehat{HNC}=\widehat{FNC}\left(=90^o\right)\)
\(NC:Chung\)
\(HN=FN\left(gt\right)\)
=> \(\Delta HNC=\Delta FNC\left(c.g.c\right)\)
Ta có : \(\widehat{AHN}+\widehat{NHC}=90^o\)
Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHN}=\widehat{AKN}\\\widehat{NHC}=\widehat{NFC}\end{matrix}\right.\)
Nên : \(\widehat{AFN}+\widehat{NFC}=90^o\)
Hay : \(\widehat{AFC}=90^o\)
\(\Leftrightarrow FC\perp AF\)
