em mới học lớp 7 nên giải hơi vô lý,thông cảm
Gọi D là giao điểm của AB và NM
Gọi E là giao điểm của AC và PM
Ta có:Do N,P lần lượt là các điểm đối xứng M qua AB và AC nên
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}NM\perp AB\\ND=DM\\PM\perp AC\\EP=ME\end{matrix}\right.\)
Xét 2 tam giác BDM và tam giác CEM lần lượt vuông tại D,E có
\(\left\{{}\begin{matrix}BM=MC\\\widehat{DBM}=\widehat{ECM}\end{matrix}\right.\)(Từ giả thiết)
\(\Rightarrow\Delta BDM=\Delta CEM\)(Cạnh huyền-góc nhọn kề)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DM=ME\\\widehat{DMB}=\widehat{EMC}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow ND=DM=ME=EP\Rightarrow NM=MP\)
Suy ra tam giác NMP cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{MNP}=\widehat{MPN}\)
Khi đó ta có:\(\widehat{NMP}+\widehat{MNP}+\widehat{MPN}=\widehat{NMP}+2.\widehat{MNP}=180^0\Rightarrow2.\widehat{MNP}=180^0-\widehat{NMP}\)
Mà \(\widehat{DMB}+\widehat{NMP}+\widehat{EMC}=\widehat{NMP}+2.\widehat{DMB}=180^0\Rightarrow2.\widehat{DMB}=180^0-\widehat{NMP}\)
\(\Rightarrow2.\widehat{MNP}=2.\widehat{DMB}\Rightarrow\widehat{MNP}=\widehat{DMB}\Rightarrow IK//BC\Rightarrow\frac{AI}{IB}=\frac{AK}{KC}\left(đpcm\right)\)
