Question

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc BC

a) Chứng minh: AC<AH+BC/2.

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC. Chứng minh: MN//BC.

c) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng điểm I nằm trên đường AH.

d) Cho biết AB=13cm; AH=12cm. Tính BC,IA,HN,BN.

Answer 1

b) Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}AM=BM=\frac{AB}{2}\left(GT\right)\\AN=CN=\frac{AC}{2}\left(GT\right)\end{matrix}\right.\)

Mà: AB = AC (GT)

=> AM = AN = BM = CN

Có: AM = AN (cmt)

=> Tam giác AMN cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\) (1)

Tam giác ABC cân tại A (GT)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) => Góc AMN = Góc ABC

Mà 2 góc này lại là 2 góc đồng vị

=> MN // BC

c/ Tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao

=> AH là đường trung tuyến

Ta có: I là giao điểm của 2 đường trung tuyến BN và CM của tam giác ABC

=> I là trọng tâm của tam giác ABC

Lại có: AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

=> AH đi qua I

Hay: I thuộc AH

d/ ΔABH vuông tại H. Áp dụng định lí Pitago ta có:

AB² = AH² + BH²

=> BH² = AB² - AH² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25

=> BH = 5 (cm)

Ta có: BC = 2. BH (GT)

=> BC = 2. 5 = 10 (cm)

ΔABC có:

+) AH là đường trung tuyến (cmt)

+) I là trọng tâm (cmt)

\(\Rightarrow AI=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.12=8\left(cm\right)\)

Có: AI + IH = AH

=> 8cm + IH = 12cm

=> IH = 12cm - 8cm = 4cm

ΔBHI vuông tại H. Áp dụng định lí Pitago ta có:

BI² = BH² + IH² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9 (cm)

=> BI = 3(cm)

ΔABC có:

+) BN là đường trung tuyến (cmt)

+) I là trọng tâm (cmt)

\(\Rightarrow BI=\frac{2}{3}BN\)

\(\Rightarrow BN=BI:\frac{2}{3}=3:\frac{2}{3}=3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}=4,5\left(cm\right)\)