Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. a) Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình bình hành. b) BE cắt CF ở G, vẽ các điểm M, N sao cho E là trung điểm của GN, F là trung điểm của GM. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật, AMGN là hình thoi. c) Chứng minh AMBN là hình thang
a) Xét ΔABC có
F là trung điểm của AB(gt)
E là trung điểm của AC(gt)
Do đó: FE là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒FE//BC và \(FE=\frac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Xét tứ giác BFEC có FE//BC(cmt)
nên BFEC là hình thang có hai đáy là FE và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang BFEC có \(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên BFEC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
b) Xét ΔGMN có
F là trung điểm của GM(gt)
E là trung điểm của GN(gt)
Do đó: FE là đường trung bình của ΔGMN(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒FE//MN và \(FE=\frac{MN}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra MN//BC và MN=BC
Xét ΔABC có
BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(E là trung điểm của AC)
CF là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(F là trung điểm của AB)
BE cắt CF tại G(gt)
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒\(BG=\frac{BE}{2}\) và \(CG=\frac{2}{3}CF\)
Ta có: BG+GE=BE(G nằm giữa B và E)
\(\Leftrightarrow GE=BE-BG=BE-\frac{2}{3}BE=\frac{1}{3}BE\)
⇒\(GE=\frac{1}{2}BG\)
mà \(GE=\frac{1}{2}GN\)(E là trung điểm của GN)
nên BG=GN
Ta có: BG+GN=BN
hay BN=2BG(3)
Ta có: CG+GF=CF(G nằm giữa C và F)
hay \(GF=CF-CG=CF-\frac{2}{3}CF=\frac{1}{3}CF\)
⇒\(GF=\frac{1}{2}GC\)
mà \(GF=\frac{1}{2}GM\)(F là trung điểm của GM)
nên GC=GM
Ta có: GC+GM=MC(G nằm giữa M và C)
nên MC=2GC(4)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
mà AD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(D là trung điểm của BC)
nên AD là đường phân giác ứng với cạnh BC
⇒\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)
hay \(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)
Xét ΔABG và ΔACG có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)(cmt)
AG chung
Do đó: ΔABG=ΔACG(c-g-c)
⇒GB=GC(hai cạnh tương ứng)(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra MC=BN
Xét tứ giác BCNM có
MN//BC(cmt)
MN=BC(cmt)
Do đó: BCNM là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành BCNM có MC=BN(cmt)
nên BCNM là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Xét tứ giác AGCN có
E là trung điểm của đường chéo AC(gt)
E là trung điểm của đường chéo GN(gt)
Do đó: AGCN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AN//GC(Hai cạnh đối trong hình bình hành AGCN)
hay AN//MG
Xét tứ giác AMBG có
F là trung điểm của đường chéo AB(gt)
F là trung điểm của đường chéo MG(gt)
Do đó: AMBG là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AM//BG(hai cạnh đối trong hình bình hành AMBG)
hay AM//GN
Ta có: BMNC là hình chữ nhật(cmt)
nên Hai đường chéo MC và BN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình chữ nhật)
mà MC cắt BN tại G
nên \(GM=\frac{MC}{2}\) và \(GN=\frac{NB}{2}\)
mà MC=NB(cmt)
nên GM=GN
Xét tứ giác AMGN có
MG//AN(cmt)
MA//GN(cmt)
Do đó: AMGN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AMGN có GM=GN(cmt)
nên AMGN là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Ta có: AM//GN(cmt)
nên AM//BN
Xét tứ giác AMBN có AM//BN(cmt)
nên AMBN là hình thang có hai đáy là AM và BN(Định nghĩa hình thang)
