a) \(\Delta ABC\) có BM là phân giác góc B nên \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MC}\)
tương tự \(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AN}{NB}\)
mà AB=AC nên \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{AM}{MC}\Rightarrow\) MN//BC (định lí Ta lét đảo)
b)ta có\(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MC}\) (CMT) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AB+BC}=\dfrac{AM}{AM+MC}\Rightarrow\dfrac{AB}{AB+BC}=\dfrac{AM}{AC}\\ \Rightarrow\dfrac{5}{5+6}=\dfrac{AM}{5}\Rightarrow AM=\dfrac{5\cdot5}{11}=\dfrac{25}{11}\left(cm\right)\)
ta có MC=AC-AM=5-25/11=30/11(cm)
*MN//BC nên góc MNC=góc NCB mà góc NCB=góc MCN nên góc MCN=góc MNC\(\Rightarrow\Delta MNC\) cân nên MN=MC=11/30 (cm)
c)tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB (MN//CB) nên
\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{5}{11}=k\)
kẻ AD vuông góc vói BC, cắt MN tại I
tam giác AMI đồng dạng với tam giác ACD(MI//CD) nên \(\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{AM}{AC}=k\)
ta có \(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AI\cdot MN}{\dfrac{1}{2}AD\cdot BC}=\dfrac{AI\cdot MN}{AD\cdot BC}=k\cdot k=k^2=\left(\dfrac{5}{11}\right)^2=\dfrac{25}{121}\)
Ta có tam giác ABC cân nên D là trung điểm BC nên BD=BC/2=6/2=3(cm)
tam giác ADB vuông tại D nên
\(AD=\sqrt{\left(AB^2-DC^2\right)}=\sqrt{\left(5^2-3^2\right)}=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)
diện tích tam giác ABC =1/2.AD.BC=1/2.4.6=12(cm^2)
\(\Rightarrow S_{AMN}=\dfrac{25.12}{121}=\dfrac{300}{121}\left(cm^2\right)\)
