Question

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M,N,H lần lượt là trung điểm AB, AC,BC.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân.

b) AH cắt MN tại O. Chứng minh tứ giác AMHN là hình thoi.

c) Gọi K là điểm đối xứng với H qua N. Chứng minh 3 điểm B, O, K thẳng hàng.

d) BK cắt AC tại D. Chứng minh AB= 3 AD.

 

 

Answer 1

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC
Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2

Xét tứ giác BMNC có MN//BC

nên BMNC là hình thang

mà \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)

nên BMNC là hình thang cân

b: Xét ΔABC có 

H là trung điểm của BC

N là trung điểm của AC

DO đó: HN là đường trung bình

=>HN//AB và HN=AB/2

=>HN=AM và HN=AM

Xét tứ giác AMHN có 

HN//AM

HN=AM

Do đó: AMHN là hình bình hành

mà AM=AN

nên AMHN là hình thoi

c: Ta có: AMHN là hình thoi

nên Hai đường chéo AH và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của AH

Xét tứ giác ABHK có

HK//AB

HK=AB

DO đó: ABHK là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo AH và BK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AH

nên O là trung điểm của BK