Question

Cho tam giác ABC cân (AB = AC), có cạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó ?

Answer 1

Theo giả thiết \(AB=AC,BC,AH,AB\) lập thành cấp số cộng cho nên ta có hệ :

\(\begin{cases}\frac{1}{q}=\frac{BC}{AH}=\frac{2HC}{AH}=2\cot C\\\frac{1}{q}=\frac{AH}{AB}=\sin B\end{cases}\)

Từ đó ta có kết quả :

\(2\cot C=\sin C\)  hay   \(2\cos C=\sin^2C=1-\cos^2C\)

                                 \(\Leftrightarrow\cos^2C+2\cos C-1=0\)

                                 \(\Leftrightarrow\cos C=-1+\sqrt{2}\) (0 < C < \(90^0\))

Do C là nhọn nên \(\sin C=\sqrt{2\left(\sqrt{2}-1\right)}\)

Cho nên công bội của cấp số nhân là : \(q=\frac{1}{\sin C}=\frac{1}{\sqrt{2\left(\sqrt{2}-1\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\left(\sqrt{2}-1\right)}\)