Question

cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thõa mãn \(_{\left|z\right|-2\overline{z}=-7+3i+z}\)tính modun của số phức w= 1-z+\(^{z_{ }^2}\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi\)

Ta có: \(|z|-2\overline{z}=-7+3i+z\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}-2(a-bi)=-7+3i+a+bi\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a^2+b^2}-2a)+2bi=(-7+a)+i(b+3)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{a^2+b^2}-2a=-7+a(1)\\ 2b=b+3(2)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) suy ra \(b=3\)

Thay vào (1): \(\sqrt{a^2+9}=3a-7\)

\(\Rightarrow (3a-7)^2=a^2+9\)

\(\Leftrightarrow 9a^2+49-42a=a^2+9\)

\(\Leftrightarrow 8a^2-42a+40=0\)

\(\Leftrightarrow a=4\) (chọn) hoặc \(a=\frac{5}{4}\) (loại do \(a\in\mathbb{Z}\) )

Vậy số phức \(z=4+3i\)

\(\Rightarrow w=1-(4+3i)+(4+3i)^2=4+21i\)

\(\Rightarrow |w|=\sqrt{4^2+21^2}=\sqrt{457}\)