Question

Cho số nguyên tố p.Giả sử x,y là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{x^2+py^2}{xy}\) là số tự nhiên.Cmr \(\dfrac{x^2+py^2}{xy}=p+1\)

Answer 1

Đặt (x, y) = d.

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x=dx'\\y=dy'\end{matrix}\right.\left(\left(x',y'\right)=1\right)\).

Ta có: \(x^2+py^2⋮xy\Leftrightarrow x'^2+py'^2⋮x'y'\).

Từ đó: \(x'^2⋮y'\Rightarrow y'=1\).

Do đó: \(x'^2+p⋮x'\Leftrightarrow p⋮x'\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x'=1\\x'=p\end{matrix}\right.\).

+) Nếu x' = 1 thì x = y. Ta có \(\frac{x^2+py^2}{xy}=p+1\).

+) Nếu x' = p thì x = py. Ta có: \(\frac{x^2+py^2}{xy}=\frac{p^2y^2+py^2}{py^2}=p+1\).

Vậy ta có đpcm.