Question

Cho pt: x²-2mx+2m-3=0

Tìm m để pt có nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức A=x₁²(1-x₂²)+x₂²(1-x₁²) đạt giá trị lớn nhất.

Answer 1

Lời giải:

Ta thấy:

\(\Delta'=(-m)^2-(2m-3)=(m-1)^2+2>0, \forall m\in\mathbb{R}\)

Do đó pt luôn có hai nghiệm pb với mọi $m$

Áp dụng định lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(A=x_1^2(1-x_2^2)+x_2^2(1-x_1^2)\)

\(=(x_1^2+x_2^2)-2(x_1x_2)^2\)

\(=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2(x_1x_2)^2\)

\(=4m^2-2(2m-3)-2(2m-3)^2\)

\(=-4m^2+20m-12=-(2m-5)^2+13\)

Vì \((2m-5)^2\geq 0\Rightarrow A\leq 0+13=13\)

Vậy $A$ đạt max bằng $13$ khi \((2m-5)^2=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{2}\)