Question

Cho PT : x² + 2mx + 2m - 1 = 0 . Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của PT đã cho . Tìm giá trị của m để A=x₁²x₂ + x₁x₂² đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

\(\Delta=4m^2-4\left(2m-1\right)=4m^2-8m+4=\left(2m-2\right)^2\ge0\)

Do đó pt luôn có nghiệm

Theo Vi-ét :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(A=x_1^2x_2+x_1x_2^2\)

\(A=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\)

\(A=\left(2m-1\right)\cdot\left(-2m\right)\)

\(A=-4m^2+2m\)

\(A=-4\left(m^2-\frac{1}{2}m\right)\)

\(A=-4\left(m^2-2\cdot m\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}\right)\)

\(A=\frac{1}{4}-4\left(m-\frac{1}{4}\right)^2\le\frac{1}{4}\forall m\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}\)