Question

cho pt : x²-(2m+5)x+2m+1=0 với x là ẩn ,m là tham số

tìm các giá trị của mđể pt có hai nghiệm phân biệt x_{1 ,}x_{2 sao cho biểu thức P =| \(\sqrt{x_1}\) -\(\sqrt{x_2}\)| đạt giá trị nhỏ nhất}

Answer 1

\(\Delta=\left(2m+5\right)^2-4\left(2m+1\right)=4m^2+12m+21=\left(2x+3\right)^2+12>0\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm pb

Để biểu thức đề bài có nghĩa \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1\ge0\\x_2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+5>0\\x_1x_2=2m+1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge-\frac{1}{2}\)

\(P=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\Rightarrow P^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}\)

\(P^2=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)

\(P^2=2m+1-2\sqrt{2m+1}+1+4\)

\(P^2=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow P\ge2\Rightarrow P_{min}=2\) khi \(\sqrt{2m+1}=1\Rightarrow m=0\)