Question

Cho PT : 2x²-(m+3)x+m=0

Chứng tỏ PT luôn có nghiệm với mọi m .Tìm GTNN của biểu thức sau : A= \(\left|x_1-x_2\right|\)

Answer 1

Lời giải:

Ta thấy:

$\Delta=(m+3)^2-8m=m^2-2m+9=(m-1)^2+8>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có nghiệm với mọi $m$

Với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt. Áp dụng định lý Viet:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{m+3}{2}\\ x_1x_2=\frac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{\frac{(m+3)^2}{4}-2m}=\frac{1}{2}\sqrt{m^2-2m+9}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{(m-1)^2+8}\geq \frac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{2}\)

Vậy $A_{\min}=\sqrt{2}$. Giá trị này đạt tại $m=1$